Решить уравнение 2-cos2x+3sinx=0

Представим 2 как 2 * 1 , а 1 = sin²a + cos²а. Косинус двойного угла cos2x = (сos²x - sin²x).

2 - cos2x + 3sinx = 0.

2(sin²a + cos²а) - (сos²x - sin²x) + 3sinx = 0;

2sin²a + 2cos²а - сos²x + sin²x + 3sinx = 0;

3sin²a + cos²а + 3sinx = 0.

Из формулы 1 = sin²a + cos²а выразим cos²а = 1 - sin²a.

3sin²a + 1 - sin²a + 3sinx = 0.

2sin²a + 3sinx + 1 = 0.

Введем новую переменную, пусть sinx = а.

2а² + 3а + 1 = 0.

D = 9 - 8 = 1 (√D = 1);

а₁ = (-3 - 1)/4 = -4/4 = -1.

а₂ = (-3 + 1)/4 = -2/4 = -1/2.

Вернемся к замене sinx = а.

а = -1; sinx = -1 (частный случай); х = -П/2 + 2Пn, n - целое число.

а = -1/2; sinx = -1/2; х = -П/6 + 2Пn, n - целое число.

И х = -5П/6 + 2Пn, n - целое число.

Ответ: х = -П/2 + 2Пn; -П/6 + 2Пn; -5П/6 + 2Пn, n - целое число.

Нам нужно решить тригонометрическое уравнение 2 – cos 2x + 3sin x = 0.

В этом нам помогут тригонометрические тождества.

Вспомним тригонометрическое тождества, которые мы будем использовать

• Основное тригонометрическое тождество: 1 = sin² x + cos² x.
• Формулу косинус двойного угла: cos2x = (сos²x - sin²x).
• cos² x = 1 - sin² x — выражение из основного тригонометрического тождества.

Преобразуем исходное уравнение

Давайте представим число два в виде произведение единицы и двойки, а затем единицу заменим на основное тригонометрическое тождество.

2 – cos 2x + 3sin x = 0;

2 * 1 – cos 2x + 3sin x = 0;

2 * (sin² x + cos² x) - (сos² x - sin² x) + 3sin x = 0;

2sin² x + 2cos² x - сos² x + sin² x + 3sinx = 0;

Приведем подобные слагаемые:

3sin² x + cos² x + 3sin x = 0.

Выразим из основного тригонометрического тождества косинус квадрат:

1 = sin² x + cos² x;

cos² x = 1 - sin² x.

Подставляем в полученное выражение и приводим подобные:

3sin² x + 1 - sin² x + 3sin x = 0.

2sin² x + 3sin x + 1 = 0.

Вводим замену и решаем полное квадратное уравнение

Обозначим с помощью переменной t = sin x.

2t² + 3t + 1 = 0.

D = 9 - 8 = 1.

Для нахождения корней потребуется значение √D = 1.

t₁ = (-3 - 1)/4 = -4/4 = -1.

t₂ = (-3 + 1)/4 = -2/4 = -1/2.

Остается только вернуться к замене и найти значение переменной x.

Так как sin x = t.

t = -1;

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

sin x = -1;

х = -π/2 + 2πn, n - целое число.

t = -1/2; 

sin x = -1/2;

х = -π/6 + 2πn, n - целое число.

x = -5π/6 + 2πn, n - целое число.

Ответ: x = -π/2 + 2πn; x = -π/6 + 2πn; x = -5π/6 + 2πn, n - целое число.