Разложите на множители: 1) (a+b)³-(a-b)³ 2) (a+b)⁴-(a-b)⁴

Решение:

1. Раскладываем на множители по формуле x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y² ), где x = a + b, а y = a - b:

(a + b)³ - (a - b)³ = (a + b - (a - b))((a + b)² + (a + b)(a - b) + (a - b)²) = (a + b - a + b)(a² + 2ab + b² + a² - b² + a² - 2ab + b²) = 2b(3a² + b²).

Ответ: (a + b)³ - (a - b)³ = 2b(3a² + b²).

1. Представим в виде:

(a + b)⁴ - (a - b)⁴ = ((a + b)²)² - ((a - b)²)².

Раскладываем на множители по формуле x² - y² = (x - y)(x + y), где x = (a + b)², а y = (a - b)²:

((a + b)² - (a - b)²)((a + b)² + (a - b)²).

Раскрываем скобки с помощью формул (x + y)²= x² + 2xy + y² и (x - y)²= x² - 2xy + y²:

((a² + 2ab + b² - (a² - 2ab + b²))(a² + 2ab + b² + a² - 2ab + b²) = (a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²)(2a² + 2b²) = 4ab(2a² + 2b²) = 8ab(a² + b²).

Ответ: (a + b)⁴ - (a - b)⁴ = 8ab(a² + b²).