Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f(x)= x^3-x^2-x+2 на отрезке [-1;1,5]

Найдем производную функции.

f(x) = x³ - x² - x + 2.

f`(x) = 3х² - 2х - 1.

Приравняем производную к нулю.

3х² - 2х - 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 3; b = -2; c = -1;

D = b^2 - 4ac; D = (-2)² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16 (√D = 4);

x = (-b ± √D)/2a;

х¹ = (2 - 4)/(2 * 3) = -2/6 = -1/3.

х² = (2 + 4)/6 = 6/6 = 1.

Определяем знаки производной на каждом промежутке. Производная является квадратичной параболой, значит знаки производной будут:

(-∞; -1/3) производная (+), функция возрастает.

(-1/3; 1) производная (-), функция убывает.

(1; +∞) производная (+), функция возрастает.

Точка -1/3 - это точка максимума функции (входит в промежуток [-1; 1,5]).

Точка 1 - это точка минимума функции (входит в промежуток [-1; 1,5]).

Вычислим наименьшее значение функции:

х = 1; у = 1³ - 1² - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1.

Вычислим наибольшее значение функции:

х = -1/3; у = (-1/3)³ - (-1/3)² - (-1/3) + 2 = -1/27 - 1/9 + 1/3 + 2 = (-1 - 3 + 9 + 54)/27 = 59/27 = 2 5/27.

Ответ: наименьшее значение функции на промежутке [-1; 1,5] равно 1, а наибольшее равно 2 5/27..