Уравнение: 2cos^2x+5sinx-4=0

Заменим cos^2 x. Из основного тригонометрического тождества sin^2 x + cos^2 x = 1, имеем cos^2 x = 1 - sin^2 x.

2(1 - sin^2 x) + 5sin x - 4 = 0;

2 - 2sin^2 x + 5sin x - 4 = 0;

-2sin^2 x + 5sin x - 2 = 0.

Введём новую переменную sin x = y.

-2у^2 + 5у - 2 = 0;

2у^2 - 5у + 2 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9; √D = 3;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (5 + 3)/4 = 2;

x2 = (5 - 3)/4 = 1/2.

Выполним обратную подстановку.

1) sin x = 2.

Корней нет, т.к область значений функции у = sun x равна [-1; 1].

2) sin x = 1/2;

x = (-1)^k * arcsin(1/2) + Пk, k ∈ Z;

x = (-1)^k * П/6 + Пk, k ∈ Z.

Ответ. (-1)^k * П/6 + Пk, k ∈ Z.