найти наименьшее значение функции f (x) = x^3 + 3x^2 - 3 на отрезке [-2; 1]

Если на отрезке [-2; 1] есть точка минимума функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 3, то наименьшее значение функция будет принимать в этой точке минимума. Если ее нет на этом промежутке, то наименьшее значение функции будет в одном из концов отрезка, либо в точке х = -2, либо в точке х = 1.

1. Найдем производную функции.

f\'(x) = (x^3 + 3x^2 - 3)\' = 3x^2 + 6x.

2. Найдем промежутки возрастания и убывания функции.

3x^2 + 6x = 0;

3x(x + 2) = 0;

3x = 0; x1 = 0;

x + 2 = 0; x2 = -2.

Отметим числа (-2) и 0 на числовой прямой. Они разделят прямую на интервалы: 1) (-∞; -2], 2) [-2; 1], 3) [1; +∞). 

На 1 и 3 интервалах производная функции положительна, а на 2 интервале - отрицательна. Если производная функции положительна на интервале, то функция на этом интервале возрастает, если производная отрицательна, то функция убывает.

3. Найдем экстремумы.

Если функция в некоторой точке меняется с возрастания на убывание, то эта точка будет точкой максимума функции. Если в некоторой точке функция меняется с убывания на возрастание, то эта точка - точка минимума. Значит точка х = 0 - точка минимума. 

4. Найдем наименьшее значение функции на отрезке [-2; 1].

Точка минимума х = 0 принадлежит отрезку [-2; 1], поэтому наименьшее значение функция будет принимать в этой точке.

f(0) = 0^3 + 3 * 0^2 - 3 = -3.

Ответ. -3.