№ 1 В прямоугольном треугольнике один из катетов на 7 см больше другого Найдите периметр треугольника если его гипотенуза

1) Пусть первый катет равен х см, тогда второй катет равен (х + 7) см. По теореме Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, имеем: квадрат гипотенузы равен 13^2, сумма квадратов катетов равна х^2 + (х + 7)^2. Составим уравнение и решим его.

х^2 + (х + 7)^2 = 13^2;

х^2 + х^2 + 14х + 49 = 169;

2х^2 + 14х + 49 - 169 = 0;

2х^2 + 14х - 120 = 0;

х^2 + 7х - 60 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 7^2 - 4 * 1 * (-60) = 49 + 240 = 289; √D = 17;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (-7 + 17)/2 = 10/2 = 5 (см) - 1-ый катет;

х2 = (-7 - 17)/2 = -24/2 = -12 - длина не может быть отрицательной;

х + 7 = 5 + 7 = 12 (см) - 2-ой катет.

Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

Р = 5 + 12 + 13 = 30 (см).

Ответ. 30 см.

2) х - первый катет;

(23 - х) - второй катет;

по теореме Пифагора; х^2 + (23 - х)^2 = 17^2;

х^2 + 529 - 46х + х^2 = 289;

2х^2 - 46х + 529 - 289 = 0;

2х^2 - 46х + 240 = 0;

x^2 - 23x + 120 = 0;

D = (-23)^2 - 4 * 1 * 120 = 529 - 480 = 49; √D = 7;

х1 = (23 + 7)/2 = 30/2 = 15 (см) - первый 1-ый катет;

х2 = (23 - 7)/2 = 16/2 = 8 (см) - второй 1-ый катет;

23 - х1 = 23 - 15 = 8 (см) - первый 2-ой катет;

23 - х2 = 23 - 8 = 15 (см) - второй 2-ой катет.

Катеты могут быть 15 см и 8 см, или 8 см или 15 см, что одно и тоже.

Ответ. 15 см, 8 см.