В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена высота СD. АВ = 13 см, СD = 6 см. Найдите АD, ВD,

Решение. Дано: АВ = 13 см, СD = 6 см. Найти  АD, ВD, АС, ВС.

Известно, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу (или среднему геометрическому тех отрезков на которые высота разбивает гипотенузу).

Отсюда имеем равенство: СD = √(АD * ВD).

Пусть  АD = x, тогда  ВD = 13 - x.  

6 = √(x * (13 - x))   - возведем обе стороны равенства в квадрат и перенесем правую часть равенства на левую.

x² - 13x + 36 = 0:

D =169 - 144 = 25:

x₁ = (13 + 5)/2 = 9 : x₂ = (13 - 5)/2 = 4.

Из треугольника ACD  AC = √ (36 + 16) = √52.

Из треугольника CDB  CB = √ (81 + 16) = √97.

AC = AD + DB =4 + 9 = 13.

Ответ. 4; 9; 13; √52;√97.