Геометрическая прогрессия:b1 = 2√6q = 1 √6bn = 1 3 Найти: n, sn?

1. Дана геометрическая прогрессия {b_n}, для которой b₁ = 2√(6), q = 1 / √(6), b_n = 1/3, где q – знаменатель прогрессии. По требованию задания, найдём (если существует) такой номер n, для которого справедливы данные равенства и сумму первых n членов данной геометрической прогрессии.
2. Как известно, для того, чтобы можно было иметь полную картину про геометрическую прогрессию {b_n}, достаточно знать всего два её параметра: первый член b₁ и знаменатель q. В задании, даны оба этих параметров, а именно, b₁ = 2√(6) и q = 1 / √(6).
3. Используя формулу b_n = b₁ * q^{n – 1} определим то натуральное n (если таковое существует), для которого выполняется равенство b_n = 1/3. Имеем: 1/3 = 2√(6) * (1 / √(6))^{n – 1}. Поделим обе части этого равенства на 2√(6). Тогда, получим:  1 / (6√(6)) = 1 / (√(6))^{n – 1} или, согласно свойств степеней и арифметического квадратного корня, (√(6))^{n – 1} = (√(6))³ , откуда n – 1 = 3. Таким, образом, n = 3 + 1 = 4. Проверим: b₄ = b₁ * q^{4 – 1} = 2√(6) * (1 / √(6))³ = 2√(6) * (1 / (√(6))³) = (2 * √(6) * 1) / (6 * √(6)) = 1/3.
4. Для того, чтобы вычислить требуемую сумму первых n = 4 членов данной геометрической прогрессии, воспользуемся формулой S_n = b₁ * (1 – qⁿ) / (1 – q), q ≠ 1. Имеем: S₄ = b₁ * (1 – q⁴) / (1 – q) = 2√(6) * (1 – (1 / √(6))⁴) / (1 – (1 / √(6))) = 2√(6) * (1 – 1/36) / ((√(6) – 1) / √(6)) = 2√(6) * ((36 – 1) / 36) * (√(6)) / (√(6) – 1)) = (2 * √(6) * 35 * √(6)) / (36 * (√(6) – 1)) = 35 / (3 * (√(6) – 1)) = (35 * (√(6) + 1)) / (3 * (√(6) – 1) * (√(6) + 1)) = (35 * (√(6) + 1)) / (3 * (6 – 1)) = (7/3) * (√(6) + 1).

Ответ: n = 4; S_n = (7/3) * (√(6) + 1).