Найти f '(x) и f '(x0) если f(x)=1//2 ln x+3, x0=1//4.

Найдём производную данной функции: f(x) = 1 / (2ln x + 3).

Эту функцию можно записать так: f(x) = (2ln x + 3)^(-1).

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(ln x)’ = 1 / х (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x)\' = ((2ln x + 3)^(-1))’ = (2ln x + 3)’ * ((2ln x + 3)^(-1))’ = ((2ln x)’ + (3)’) * ((2ln x + 3)^(-1))’ = (2 * (1 / x) + 0) * (-1) * (2ln x + 3)^(-1 - 1) = (2 / x) * (-1) * (2ln x + 3)^(-2) = (-2) / (x * (2ln x + 3)^2).

Вычислим значение производной в точке х0 = 1 / 4:

f(x)\' (1 / 4) = (-2) / ((1 / 4) * (2 * (ln (1 / 4)) + 3)^2) = (-2 * 4) / ((2 * (-1,39) + 3)^2) = (-8) / ((-2,78 + 3)^2) = (-8) / ((0,22)^2) = -8 / 0,0484 = -165,29.

Ответ: f(x)\' = (-2) / (x * (2ln x + 3)^2), а f(x)\' (1 / 4) = -165,29.