Докажите, что при любом натуральном N значение выражения (5n + 7)²(3n + 10)² делится на 4.

1. Пусть n ϵ N, где N – множество натуральных чисел. Ясно, что если n чётно, то оно представимо в виде n = 2 * k, а если нечётно, то в виде n = 2 * k – 1, где k ϵ N.
2. Данное выражение представим в виде ((5 * n + 7) * (3 * n + 10))².
3. При n = 2 * k – 1 имеем 5 * n + 7 = 5 * (2 * k – 1) + 7 = 10 * k + 2 чётно.
4. При n = 2 * k имеем 3 * n + 10 = 3 * 2 * k + 10 = 6 * k + 10 чётно.
5. Значит, выражение (5 * n + 7) * (3 * n + 10) всегда чётно.
6. Поскольку, (2 * k)² = 4 * k², то квадрат чётного числа делится на 4.