4^x-2^x>12 ^ в степени

Представим 4 как степень с основанием 2:

4^x - 2^x > 12.

(2²)^x - 2^x > 12.

(2^х)² - 2^x - 12 > 0.

Введем новую переменную, пусть 2^х = а.

а² - а - 12 > 0.

Рассмотрим функцию у = а² - а - 12, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; а² - а - 12 = 0.

D = 1 + 48 = 49 (√D = 7);

а₁ = (1 - 7)/2 = -6/2 = -3.

а₂ = (1 + 7)/2 = 8/2 = 4.

Отмечаем на числовой прямой точки -3 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; -3) и (4; +∞).

То есть а < -3 и a > 4.

Вернемся к замене 2^х = а:

а < -3; 2^х < -3 (не может быть, 2 в любой степени положительно).

a > 4; 2^х > 4; 2^х > 2²; х > 2.

Ответ: х принадлежит промежутку (2; +∞).