Найдите производную функцию у= f (x) в точке х=1

Найдём производную нашей данной функции: f(x) = (x + 1) / (x^2 + 1).

Воспользовавшись основными формулами и правилами дифференцирования:

(x^n)’ = n * x^(n-1).

(с)’ = 0, где с – const.

(с * u)’ = с * u’, где с – const.

(u ± v)’ = u’ ± v’.

(u / v)’ = (u’v - uv’) / v².

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x).

Таким образом, производная нашей данной функции для примера будет следующая:

f(x)\' = ((x + 1) / (x^2 + 1))’ = ((x + 1)’ * (x^2 + 1) - (x + 1) * (x^2 + 1)’) / (x^2 + 1)^2 = (((x)’ + (1)’) * (x^2 + 1) - (x + 1) * ((x^2)’ + (1)’)) / (x^2 + 1)^2 = ((1 + 0) * (x^2 + 1) - (x + 1) * (2x + 0)) / (x^2 + 1)^2 = (x^2 + 1 - 2x^2 - 2x) / (x^2 + 1)^2 = (-x^2 - 2x + 1) / (x^2 + 1)^2.

Ответ: Производная нашей данной функции будет равна f(x)\' = (-x^2 - 2x + 1) / (x^2 + 1)^2.