Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y= -x^2+2x+3, y=3-x б) y= x^2-4x, y=-(x-4)^2

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: 

а) y = -x^2 + 2 * x + 3, y = 3 - x; 

Графиком первой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Графиком второй функции является прямая. 

y = 3 + 2 * x - x^2; 

y = 3 - x;  

3 + 2 * x - x^2 - (3 - x) = 3 + 2 * x - x^2 - 3 + x =  2 * x + x - x^2 = 3 * x - x^2; 

S = (от 0 до 3) ∫(3 * x - x^2) dx = (от 0 до 3) (3 * x^2/2 - x^3/3) = (от 0 до 3) (3/2 * x^2 - 1/3 * x^3) = (3/2 * 3^2 - 1/3 * 3^3) - (3/2 * 0^2 - 1/3 * 0^3) = 27/2 - 27 = 13.5 - 9= -4.5. 

б) y = x^2 - 4 * x, y = -(x - 4)^2; 

S = (от 2 до 4) ∫(-(-4 + x)^2 + 4 * x - x^2) dx   = (от 2 до 4) ∫(-(x - 4)^2 + 4 * x - x^2) dx  = (от 2 до 4) ∫(-x^2 + 8 * x + 16 + 4 * x - x^2) dx  = (от 2 до 4) ∫(-2 * x^2 + 12 * x + 16) dx  = (от 2 до 4) (-2/3 * x^3 + 6 * x^2 + 16 * x) = 8/3.