Y = (x+8)e^8-x найти производную и точку максимума

Найдем производную функции:

у = (x + 8) * e^{(8 - x)}.

Производная произведения: (f * g)\' = f\' * g + f * g\'.

у\' = (x + 8)\' * e^{(8 - x)} + (x + 8) * (e^{(8 - x)})\' = 1 * e^{(8 - x)} + (х + 8) * e^{(8 - x)} * (8 - х)\' = e^{(8 - x)} + (х + 8) * e^{(8 - x)} * (-1) = e^{(8 - x)} - e^{(8 - x)} * (х + 8) =  e^{(8 - x)}(1 - х - 8) = e^{(8 - x)}(-х - 7).

Приравниваем производную к нулю:

e^{(8 - x)}(-х - 7) = 0.

Отсюда -х - 7 = 0 (e^{(8 - x)} никогда не будет равно нулю).

-х = 7; х = -7.

Определяем знаки производной на каждом промежутке.

(-∞; -7) пусть х = -8; у\' =  e^{(8 - (-8))}(-(-8) - 7) = е¹⁶ * (8 - 7) = е¹⁶. Производная положительна, функция возрастает.

(-7; +∞) пусть х = 0; e^{(8 - 0)}(-0 - 7) = е⁸ * (- 7) = -7е⁸. Производная отрицательна, функция убывает.

Значит, х = -7 это точка максимума функции.

Ответ: x_max = -7.