1/(x+3)(X+4)+1/(x+3)(x+5)+1/x^2+9x+20<=1

Решение:

1. Разложим x² + 9x + 20 на множители:

x² + 9x + 20 = 0.

Воспользуемся теоремой Виета:

х₁ + х₂ = - 9;

х₁ · х₂ = 20 => х_{1 =} - 4 и х₂ = - 5, так как - 4 + (-5) = -9 и - 4 · (-5) = 20. Получаем:

 x² + 9x + 20 = (x + 4)(х + 5);

¹ / _{[(x + 3)(x + 4)]} + ¹ / _{[(x + 3)(x + 5)]} + ¹ / _{[(x + 4)(x + 5)]} ≤ 1;

ОДЗ: х ≠ - 3; - 4; - 5.

Приводим к общему знаменателю, определяем дополнительные множители:

к первой дроби - (х + 5), ко второй - (х + 4), к третьей - (х + 3):

(^{(x + 5 + х + 4 + х + 3)} / _{[(x + 3)(x + 4)(х + 5)]}) - 1 ≤ 0.

Дополнительным множителем к 1 есть знаменатель:

^{[(3x + 12) - (x + 3)(x + 4)(х + 5)]} / _{[(x + 3)(x + 4)(х + 5)]} ≤ 0;

^{[3(x + 4) - (x + 3)(x + 4)(х + 5)]} / _{[(x + 3)(x + 4)(х + 5)]} ≤ 0;

^{[ (x + 4)(3 - (x + 3)(х + 5)]} / _{[(x + 3)(x + 4)(х + 5)]} ≤ 0.

Сокращаем числитель и знаменатель на (х + 4):

^{(3 - (x ^ 2 + 3х + 5х + 15))} / _{[(x + 3)(х + 5)]} ≤ 0;

^{(3 - x ^ 2 - 8х - 15)} / _{[(x + 3)(х + 5)]} ≤ 0.

Разделим правую и левую части на (- 1), знак неравенства меняется на \"≥\":

^{(x ^ 2 + 8х + 12)} / _{[(x + 3)(х + 5)]} ≥ 0.

Решим квадратное уравнение x² + 8х + 12 = 0 с помощью теоремы Виета:

х₁ + х₂ = - 8;

х₁ · х₂ = 12 => х_{1 =} - 2 и х₂ = - 6, так как - 2 + (-6) = -8 и - 2 · (-6) = 12.

Получаем неравенство:

^{[(x + 2)(х + 6)]}/ _{[(x + 3)(х + 5)]} ≥ 0.

Определяем знак неравенства на каждом из промежутков:

http://bit.ly/2GzKlpu

Учитывая ОДЗ, x ∈ (- ∞; - 6] ⋃ (- 5; - 3) ⋃ [- 2; + ∞).