В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если

Решение:

Воспользуемся фактом, что точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану на две части в отношении 2:1, считая от вершины. Из этого следует, что:

|OD| = 0,5 |ОВ| = 0,5 * 10 = 5 и |BD| = |OB| + |OD| = 10 + 5 = 15.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана BD является одновременно и высотой,

т.е. BD перпендикулярно AC.

Рассмотрим треугольник AOD. Это прямоугольный треугольник. Поэтому мы можем вычислить

длину AD, зная длины OA и OD по теореме Пифагора:

|AD|^2 + |OD|^2 = |AO|^2 <=> |AD|^2 = 13^2 - 5^2 = 12^2 <=> |AD|=12

Тогда |AС| = 2*|AD| = 24, т.к. точка D является серединой стороны AC.

Зная длины основания и высоты треугольника, находим его площадь:

S = 0,5 * |AC| * |BD| = 0,5 * 24 * 15 = 180.

https://bit.ly/2nsYCrR

Ответ: площадь треугольника ABC равна 180.