в окружности с центром О проведена хорда АВ. радиус ОК пересекает хорду АВ в ее середине. Докажите что хорда АВ и касательная

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2KLS4k8).

 Соединим точки А и В хорды АВ с центром окружности.

Образованный треугольник АОВ равнобедренный, АО = ОВ = R.

По условию, отрезок ОК делит хорду АВ пополам, тогда АН = ВН, а отрезок ОН медиана треугольника АОВ. Так как треугольник АОВ равнобедренный, то ОН и высота треугольника АОВ, тогда угол АНО = 90⁰.

По свойству касательной, радиус, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной, тогда угол МКО = 90⁰.

Так как угол АНО = МКО = 90⁰, то касательная параллельна хорде АВ, что и требовалось доказать.