В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 108, а сумма второ го и третьего членов равна 135. Найди

Дано: (b_n) -  геометрическая прогрессия;

b₁ + b₂ = 108, b₂ + b₃ = 135;

Найти: b1, b2, b3 - ?

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^(n-1),

где b₁ – первый член прогрессии, q – знаменатель прогрессии.

Выразим второй и третий члены прогрессии через формулу n-го члена:

b₂ = b₁ * q^(2-1) = b₁ * q;

b₃ = b₁ * q^(3-1) = b₁ * q^2.

Тогда b₁ + b₂ = b₁ + b₁ * q = b₁ (1 + q);

           b₂ + b₃ = b₁ * q + b₁ * q^2 = b₁ * q (1 + q).

Далее решаем систему уравнений:

b₁ (1 + q) = 108,                  (1)

b₁ * q (1 + q) = 135              (2)

Из (1) уравнения выразим b₁:

b₁ = 108 / (1 + q).

Подставим полученное выражение во (2) уравнение:

108q * (1 + q) / (1 + q) = 135;

Сокращаем подобные множители в числителе и знаменателе и получаем:

108q = 135;

q = 1,25.

Теперь найдём искомые члены заданной прогрессии:

b₁ = 108 / (1 + q) = 108 / (1 + 1,25) = 48;

b₂ = b₁ * q = 48 * 1,25 = 60;

b₃ = b₁ * q^2 = 48 * 1,25^2 = 75.

Ответ: b₁ = 48, b₂ = 60, b₃ = 75.