Одна из сторон вписанного в окружность треугольника равна диаметру, две других стороны равны 9 и 12. Найдите радиус окружности

Пусть вписанный в окружность треугольник ABC и сторона AC равна диаметру.

Лемма: если хорда в окружности равна диаметру, то она проходит через центр окружности.

Доказательство: Предположим, что существует хорда EF, которая равна диаметру и не проходит через центр окружности. Тогда рассмотрим треугольник EOF. EO и FO равны радиусу окружности R. Так как любая сторона треугольника всегда меньше суммы двух других сторон, то получаем, что EF < EO + FO = R + R = 2 * R = D, где D - диаметр окружности. Получили противоречие.

Лемма доказана.

Из доказанной леммы вытекает, что сторона AC проходит через центр окружности.

А следовательно, угол ABC опирается на дугу 180 градусов и равен 90 градусов.

Отсюда вытекает, что треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом B.

Тогда по теореме Пифагора:

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 225 = 15^2,

AC = 15.

Следовательно радиус окружности равен AC / 2 = 7,5.

Ответ: 7,5.

https://bit.ly/2MGnFTm