Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=-x³+6x²+36x+7 на отрезке [-3;3]

1. Найдем первую производную функции:

у\' = (-х^3 + 6х^2 + 36х + 7)\' = -3х^2 + 12х + 36.

2. Приравняем эту производную к нулю:

-3х^2 + 12х + 36 = 0.

Поделим уравнение на -3:

х^2 - 4х - 12 = 0.

D = b^2 - 4ac = 16 + 4 * 12 = 16 + 48 = 64.

x1 = (-b + √D)/2a = (4 + 8)/2 = 12/2 = 6;

x2 = (-b - √D)/2a = (4 - 8)/2 = -4/2 = -2.

Точка х = 6 не пренадлежит заданному отрезку.

3. Найдем значение функции в точке х = -2 и на концах заданного отрезка [-3; 3]:

у(-3) = -(-3)^3 + 6 * (-3)^2 + 36 * (-3) + 7 = 27 + 54 - 108 + 7 = -20;

у(-2) = -(-2)^3 + 6 * (-2)^2 + 36 * (-2) + 7 = 8 + 24 - 72 + 7 = -33;

у(3) = -3^3 + 6 * 3^2 + 36 * 3 + 7 = -27 + 54 + 108 + 7 = 142.

Ответ: fmax = 142, fmin = -33.