Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), если b2=4, b5=1/2

Дано: (b_n)… – геометрическая прогрессия;

b₂ = 4; b₅ = 1/2;

Найти:  S₅ - ?

Формула члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^(n – 1),

где b₁ – первый член геометрической прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов прогрессии.

С помощью этой формулы запишем второй и пятый члены заданной прогрессии:

b₂ = b₁ * q^(2 – 1) = b₁ * q;

b₅ = b₁ * q^(5 – 1) = b₁ * q^4.

Составим систему уравнений:

b₁ * q = 4,                      (1)

b₁ * q^4 = 1/2                 (2)

Из (1) уравнения выразим b₁:

b₁ = 4 : q.

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

 4 : q * q^4 = 1/2;

4 * q^3 = 1/2;

q^3 = 1/8;

q = ±1/2.

Исходя из того, что пятый член прогрессии положительный, можем сделать вывод, что q>0, т.е. q = 1/2.

Теперь, подставим полученное значение знаменателя прогрессии q в выражение для нахождения b₁:

b₁ = 4 : q = 4 : 1/2 = 8.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = (b_n * q – b₁) / (q – 1);

Значит, S₅ = (b₅ * q – b₁) / (q – 1) = ((1/2) * (1/2) – 8) / ((1/2) – 1) = (-7,75) / (-0,5) = 15,5.

Ответ: S₅ = 15,5.