Найдите сумму пяти первых членов геометрических прогрессий (сn), если с3=32; q=1/2.

Дано: c_n – геометрическая прогрессия;

c₃ = 32, q = 1/2;

Найти: S₅ - ?

Формула члена геометрической прогрессии: c_n = c₁ * q^(n – 1),

где c₁ – первый член геометрической прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов прогрессии.

С помощью этой формулы выразим третий и пятый члены заданной прогрессии:

c₅ = c₁ * q^(5 – 1) = c₁ * q^4;

c₃ = c₁ * q^(3 – 1) = c₁ * q^2 = 32, отсюда c₁ =  c₃ : (1/2)^2 = 32 * 4 = 128.

Подставим найденное значение c₁ в формулу нахождения пятого члена прогрессии:

c₅ = c₁ * q^4 = 128 * (1/2)^4 = 128 / 16 = 8.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = c_n * q – c₁ / (q – 1);

Т.о., подставив известные значения, получим:

S₅ = c₅ * q – c₁ / (q – 1) = 8 * (1/2) – 128 / (1/2 – 1) = 124 * 2 = 248.

Ответ: S₅ = 248.