Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии,у которой b2=4, b3=2

Дано: b_n – геометрическая прогрессия;

b₂ = 4, b₃ = 2;

Найти: S₅ - ?

Формула члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^(n – 1),

где b₁ – первый член геометрической прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов прогрессии.

С помощью этой формулы выразим второй, третий и пятый члены заданной геометрической прогрессии:

b₂ = b₁ * q^(2 – 1) = b₁ * q;             (1)

b₃ = b₁ * q^(3 – 1) = b₁ * q^2;         (2)

b₅ = b₁ * q^(5 – 1) = b₁ * q^4.

Из (1) и (2) выражений составим систему уравнений:

b₁ * q = 4,            (1)

b₁ * q^2 = 2         (2)

Теперь, из (1) уравнения полученной системы выразим b₁:

b₁ = 4 : q.

Подставим это выражение во (2) уравнение системы:

4 : q * q^2 = 2;

4q = 2;       

q = 0,5.

Полученное значение q подставим в b₁ = 4 : q, получим b₁ = 20.

Далее вычисляем пятый член:  b₅ = b₁ * q^4 = 20 * 0,5^4 = 1,25.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = b_n * q – b₁ / (q – 1);

Т.о., подставив известные значения, получим:

S₅ = b₅ * q – b₁ / (q – 1) = 1,25 * 0,5 – 20 / (0,5 – 1) = -19,375 / (-0,5) = 38,75.

Ответ: S₅ = 38,75.