При каких значениях переменной имеет смысл выражение : √ 3х²+ 2х- 5=

Квадратный корень можно извлечь только из положительного числа или нуля. Поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равным нулю.

Решим неравенство 3х^2 + 2х - 5 ≥ 0 методом интервалов.

1) Найдем нули функции.

3х^2 + 2х - 5 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 2^2 - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64; √D = 8;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (-2 + 8)/(2 * 3) = 6/6 = 1;

x2 = (-2 - 8)/6 = -10/6 = -1 2/3.

2) Найдем промежутки знакопостоянства.

Отметим числа (-1 2/3) и 1 на числовой прямой. Данные точки делят прямую на интервалы: 1) (-∞; -1 2/3], 2) [-1 2/3; 1], 3) [1; +∞). Выражение 3х^2 + 2х - 5 принимает положительные значения на 1 и 3 промежутках, и принимает отрицательные значения на 2 промежутке. 

Т.к. подкоренное выражение должно быть больше или равным нулю, то мы выбираем 1 и 3 промежутки, потому, что на этих интервалах наше выражение положительно.

Ответ. (-∞; -1 2/3] ∪ [1; +∞).