При каких значениях а уравнение (а-3)х^2-4х-2а=0 имеет действительные корни разных знаков?

   1. При a = 3 уравнение перестает быть квадратным, следовательно, не имеет двух корней.

   2. При a ≠ 3 уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте:

      (а - 3)х^2 - 4х - 2а = 0;

      D\' = D/4 = 2^2 + 2a(a - 3) = 4 + 2a^2 - 6a = 2(a^2 - 3a + 2) > 0;

• a1 = 1; a2 = 2;
• a ∈ (-∞; 1) ∪ (2; 3) ∪ (3; ∞);

• x = (2 ± √D\')/(a - 3);
• x1 = (2 - √D\')/(a - 3);
• x2 = (2 + √D\')/(a - 3).

   3. Рассмотрим два случая:

   a) a < 3;

• x2 < 0;
• x1 > 0;

• (2 - √D\')/(a - 3) > 0;
• 2 - √D\' < 0;
• √D\' > 2;
• D\' > 4;
• 2(a^2 - 3a + 2) > 4;
• a^2 - 3a + 2 > 2;
• a^2 - 3a > 0;
• a(a - 3) > 0;
• a ∈ (-∞; 0) ∪ (3; ∞);

   С учетом условия a < 3, получим:

      a ∈ (-∞; 0).

   b) a > 3;

• x2 > 0;
• x1 < 0;

• (2 - √D\')/(a - 3) < 0;
• 2 - √D\' < 0;
• √D\' > 2;
• a ∈ (-∞; 0) ∪ (3; ∞);

   С учетом условия a > 3, получим:

      a ∈ (3; ∞).

   Ответ: (-∞; 0) ∪ (3; ∞).