Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если a11+a6=22, a7+a5=16

Дано: (a_n) – арифметическая прогрессия;

a₁₁ + a₆ = 22; a₇ + a₅ = 16;

Найти: а₁ - ?, d - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d * (n - 1).

Выразим  a₅, a₆, a₇ и a₁₁:

a₅ = a₁ + 4d, a₆ = a₁ + 5d, a₇ = a₁ + 6d, a₁₁ = a₁ + 10d следовательно,

a₁₁ + a₆ = a₁ + 10d + a₁ + 5d = 2a₁ + 15d = 22.

a₇ + a₅ = a₁ + 6d + a₁ + 4d = 2a₁ + 10d = 16.         

Решим систему уравнений:

2a₁ + 15d = 22,                 (1)

2a₁ + 10d = 16                  (2)

Из (1) уравнения системы найдём d:

15d = 22 - 2a₁;

d = (22 - 2a₁) / 15;

Подставим полученное значение во (2) уравнение:

2a₁ + 10d = 16;

2a₁ + 10 * (22 - 2a₁) / 15 = 16;

2a₁ + (44 - 4a₁) / 3 = 16;

2a₁ + 44 = 48;

2a₁ = 4;

a₁ = 2.

Подставим полученное выражение в выражение для нахождения d:

d = (22 - 2a₁) / 15 = (22 – 2 * 2) / 15 = 18/15 = 1,2.

Ответ: a₁ = 2, d = 1,2.