Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, в которой S4=22,S7=7

Дано: (a_n) – арифметическая прогрессия;

S₄ = 22; S₇ = 7;

Найти: а₁ - ?, d - ?

Сумма n первых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2.

Т.е. S₄ = (a₁ + a₄) * 4 / 2 = (a₁ + a₄) * 2 = 22, а S₇ = (a₁ + a₇) * 7 / 2 = 7.

Очевидно, что необходимо найти четвертый и седьмой члены прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d * (n - 1).

Значит, a₄ = a₁ + d * (4 - 1) = a₁ + 3d;

a₇ = a₁ + d * (7 - 1) = a₁ + 6d.

Т.о. имеем:

(a₁ + a₁ + 3d) * 2 = 22;

(3d) * 2 = 22;

2a₁ + 3d = 11.

И (a₁ + a₁ + 6d) * 7 / 2 = 7;

(2a₁ + 6d) * 7 / 2 = 7;

2a₁ + 6d = 2.

Составим и решим систему уравнений:

2a₁ + 3d = 11,                  (1)

2a₁ + 6d = 2                     (2)

Из (1) уравнения выразим a₁:

2a₁ = 11 - 3d;

a₁ = (11 - 3d) / 2.

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

2 * ((11 - 3d) / 2) + 6d = 2;

11 - 3d + 6d = 2;

3d = -9;

d = -3.

Полученное значение d подставим в выражение для нахождения первого члена:

a₁ = (11 - 3 * (-3)) / 2 = 10.

Ответ: a₁ = 10, d = -3.