Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, в которой а4+а6-а7=11 и а2+а5=25

Дано: a_n – арифметическая прогрессия;

а₄ + а₆ - а₇ = 11; а₂ + а₅ = 25;

Найти: а₁, d - ?

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d (n – 1), где a₁ – первый член прогрессии, d – разность прогрессии, n – количество членов.

Согласно данной формуле, представим второй, четвертый, пятый, шестой и седьмой члены заданной прогрессии:

a₂ = a₁ + d;

a₄ = a₁ + d (4 – 1) = a₁ + 3d;

a₅ = a₁ + d (5 – 1) = a₁ + 4d;

a₆ = a₁ + d (6 – 1) = a₁ + 5d;

a₇ = a₁ + d (7 – 1) = a₁ + 6d.

Т.о. имеем:

а₄ + а₆ - а₇ = a₁ + 3d +  a₁ + 5d – (a₁ + 6d) = 11, т.е. a₁ + 2d = 11 (1),

и а₂ + а₅ = a₁ + d + a₁ + 4d = 25, т.е. 2a₁ + 5d = 25   (2).

Из полученных выражений составим систему уравнений:

a₁ + 2d = 11,           (1)

2a₁ + 5d = 25          (2)

Из (1) уравнения выразим a₁: a₁ = 11- 2d,

и подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

2 * (11 - 2d) + 5d = 25;

22 - 4d + 5d = 25;

d = 3.

Полученное значение d подставляем в выражение для нахождения a₁:

a₁ = 11- 2d = 11 – 2 * 3 = 5.

Ответ: a₁ = 5; d = 3.