найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=2scosx-sin2x, на промежутке [-пи/2; пи/2]

Имеем функцию:

y = 2 * cos x - sin 2x.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, для начала найдем производную функции и критические точки:

y\' = -2 * sin x - 2 * cos 2x;

y\' = -2 * sin x - 2 * (1 - 2 * sin^2 x);

y\' = 4 * sin^2 x - 2 * sin x - 2;

Уравнение является квадратным относительно sin x. Пусть m = sin x, тогда получим:

4 * m^2 - 2 * m - 2 = 0;

2 * m^2 - m - 1 = 0;

D = 1 + 8 = 9;

m1 = (1 - 3)/4 = -1/2;

m2 = (1 + 3)/4 = 1.

Получим:

1) sin x = -1/2;

В промежуток попадет лишь x = -П/6.

2) sin x = 1;

В промежуток попадет x = П/2.

y(-П/2) = 2 * cos (-П/2) - sin (-П) = 2 - наибольшее значение.

y(-П/6) = 2 * cos (-П/6) - sin (П/3) =  0,87; 

y(П/2) = 2 * cos (П/2) - sin П = 0 - наименьшее значение.