Разложите многочлен на множители , используя метод выделения полного квадрата двучлена 4а²-12аb+5b² 9c²-24cd+7d² 25a²-20ab-12b²

Решение:

Раскладывать выражения на множители будем по такому алгоритму:

1. Одновременно добавим и отнимем слагаемые (чтобы значение выражения не изменилось), необходимые для преобразования в квадрат суммы или разности:
2. «Свернём» часть выражения по формулам (а + b)²= (а²+ 2ab + b²) или (а – b)² = (а² – 2ab + b²).
3. Разложим на множители с помощью формулы разности квадратов а²– b² = (a – b)(а + b):

а). 4а² – 12аb + 5b² = (2а) ² – 2 ∙ 2 ∙ 3аb + 5b²+ 4b² – 4b² = (2а) ² – 2 ∙ 2 ∙3аb + 9b² – 4b² = [(2а) ² – 2 ∙ 2 ∙3аb + (3b)²] – 4b² = (2а – 3b)² – (2b)² = (2а – 3b – 2b) (2а – 3b + 2b) = (2а – 5b) (2а – b).

б). 9c² – 24cd + 7d² = (3c)² – 2 ∙ 3 ∙ 4cd + 7d² + 9d² – 9d² = [(3c)² – 2 ∙ 3 ∙ 4cd + (4d)²] – 9d² = (3c – 4d)² – (3d)² = (3c – 4d – 3d)(3c – 4d + 3d) = (3c – 7d)(3c – 4).

в). 25a² – 20ab – 12b² = (5a)² – 2 ∙ 2 ∙ 5ab + 4b² – 4b² – 12b² = [(5a)² – 2 ∙ 2 ∙ 5ab + (2b)²] – 16b² = (5a – 2b)² – (4b)² = (5a – 2b – 4b)(5a – 2b + 4b) = (5a – 6b)(5a + 2b).

г). 9m² – 30mk + 16k² = (3m)² – 2 ∙ 3 ∙ 5mk + 16k² + 9k² – 9k² = [(3m)² – 2 ∙ 3 ∙ 5mk + (5k)²] – 9k² = (3m – 5k)² – (3k)² = (3m – 5k – 3k)(3m – 5k – 3k) = (3m – 8k)(3m – 2k).

Ответ: а). 4а² – 12аb + 5b² = (2а – 5b) (2а – b); б). 9c² – 24cd + 7d² = (3c – 7d)(3c – 4); 25a² – 20ab – 12b² = (5a – 6b)(5a + 2b); г). 9m² – 30mk + 16k² = (3m – 8k)(3m – 2k).