1. Две стороны остроугольного треугольника равны соответственно 13 см и 20 см. Радиус описанного около треугольника круга

Пусть АВС - данный треугольник. АВ = 13 см, ВС = 20 см. 

Обозначим середину стороны АВ буквой К, а середину ВС буквой М. Проведем перпендикуляры через точки К и М, точка пересечения О - это центр описанной окружности около треугольника АВС.

КМ является средней линией треугольника АВС (соединяет середины сторон АВ и ВС), значит, КМ = 1/2 АС.

Треугольник КВО прямоугольный (КО перпендикулярна АВ), ОВ является радиусом описанной окружности, ОВ = 65/6. КВ = 1/2 АВ = 13/2.

По теореме Пифагора: КО = √((65/6)² - (13/2)²) = 52/6 = 26/3.

Треугольник ВМО прямоугольный (ОМ препендикулярна ВС), ОВ = 65/6, ВМ = 1/2 ВС = 10.

По теореме Пифагора: ОМ = √((65/6)² - 10²) = √(635/36) = 25/6.

Вычислим синусы и косинусы углов КВО и МВО:

cosКВО = (13/2)/(65/6) = 39/65.

cosМВО = 10/(65/6) = 12/13.

sinКВО = (26/3)/(65/6) = 52/65.

sinМВО = (25/6)/(65/6) = 5/13.

Угол КВМ равен КВО + МВО:

cos(α+β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ.

cosКВМ = (39/65) * (12/13) - (52/65) * (5/13) = 16/65.

По теореме косинусов:

КМ² = KB² + BM² - 2 * KB * BM * cosКВМ = (13/2)² + 10² - 2 * 13/2 * 10 * 16/65 = 28665/260 = 441/4.

КМ = √(441/4) = 21/2 = 10,5.

Следовательно, АС = 2 * КМ = 2 * 10,5 = 21 (см).