В убывающей геометрической прогрессии b1=24, сумма первых трех ее членов равна 42. Найдите b4.

Воспользуемся формулой n – го члена геометрической прогрессии.

b_n = b₁ · q^n-1

Где:

b_n – n – ый член геометрической прогрессии.

b₁ – первый член геометрической прогрессии.

q – знаменатель прогрессии.

n – номер члена геометрической прогрессии.

Тогда:

b₂ = b₁ · q^2-1 = 24 х q.

b₃ = b₁ · q^3-1 = 24 х q².

По условию сумма первых трех членов равна 42, тогда:

b₁ + b₂ + b₃ = 24 + 24 х q + 24 х q² = 42.

24 х q² + 24 х q + 24 – 42 = 0.

24 х q² + 24 х q – 18 = 0.

Сократим все члены уравнения на 3.

4 х q² + 4 х q – 3 = 0.

Решим квадратное уравнение и найдем знаменатель прогрессии.

Найдем дискриминант уравнения.

D = b² – 4 х a х c = 4² – 4 х 4 х (-3) = 16 + 48 = 64.

q 1 = (- 4 – √64) / (2 х 4) = (- 4 – 8) / 8 = - 12 / 8 = - 1,5.

q 2 = (- 4 + √64) / (2 х 4) = (- 4 + 8) / 8 = 4 / 8 = 0,5.

Так как прогрессия убывающая, то первый корень не подходит.

q = 0,5.

Тогда четвертый член прогрессии равен:

b ₄ = b₁ · q^4-1 = 24 х 0,5³ = 3.

Проверка:

b1=24, b2=12, b3=6, b4=3.

24 + 12 + 6 = 42.

Ответ: Четвертый член геометрической прогрессии равен 3.