Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 12дм в квадрате, а длина перпендикуляра, опущенного из вершины

Для решения задачи воспользуемся рисунком.

По условию S_авсд = АВ * ВС = 12 дм².

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого высота ВЕ = 2,4 дм.

В прямоугольном треугольнике отношение произведения катетов к гипотенузе равно высоте.

ВЕ = (АВ * ВС) / АС = 12 / АС.

2,4 дм = 12 / АС.

АС = 12 / 2,4 = 5 дм.

По теореме Пифагора АВ² + ВС² = 5² = 25.

Получилось два уравнения.

АВ * ВС = 12 дм².

АВ² + ВС² = 25.

АВ = 12 / ВС.

(12 / ВС)² + ВС² = 25.

(144 + ВС⁴) / ВС² = 25.

ВС⁴ + 144 = 25 * ВС².

ВС⁴ –  25 * ВС² + 144 = 0.

Решим уравнение методом подстановки. Пусть ВС² = Х, тогда

Х² – 25 * Х + 144 = 0.

Решим  квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-25)² – 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49.

Х₁ = (25 - √49) / (2 * 1) = (25 – 7) / 2 = 18 / 2 = 9.

Х₁ = (25 +  √49) / (2 * 1) = (25 + 7) / 2 = 32 / 2 = 16.

Тогда при Х = 9, ВС = √Х = √9 = 3 дм.

АВ = 12 / 3 = 4 дм.

При Х = 16, ВС = √Х = √16 = 4 дм.

АВ = 12 / 4 = 3 дм.

Ответ: Стороны прямоугольника равны 3 и 4 дм.