Выразить с помощью радикалов sin18 градусов.

1. Обозначим искомую величину через А, то есть А = sin18°.
2. Воспользуемся формулой для синуса двойного аргумента sin(2 * α) = 2 * sinα * cosα и  формулой приведения sin(90° – α) =  cosα.
3. Имеем: sin36° = 2 * sin18° * cos18°, откуда 2 * А = sin36° / cos18° или 1 – 2 * А = 1 – sin36° / cos18° = (cos18° – sin(90° – 54°)) / cos18° = (cos18° – cos54°) / cos18°.
4. Теперь применим формулу преобразования разности косинусов в произведение синусов cosα – cosβ = –2 * sin(½ * (α + β)) * sin(½ * (α – β)) и ещё раз формулу для синуса двойного аргумента.
5. Тогда получим: 1 – 2 * А = (2 * sin36° * sin18°) / cos18° = (2 * 2 * sin18° * cos18° * sin18°) / cos18° =  4 * sin²18° = 4 * А².
6. Таким образом, получили следующее квадратное уравнение 4 * А² + 2 * А – 1 =0 относительно неизвестной А, которое имеет два корня: А₁ = ((√5) – 1) / 4 и А₂ = –((√5) + 1) / 4 – побочный корень (поскольку sin18° > 0).
7. Итак, sin18° = ((√5) – 1) / 4.

Ответ: sin18° = ((√5) – 1) / 4.