В возрастающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 4, а сумма первых трёх членов равна 13. Найти

Дано: b_n – геометрическая прогрессия;

b₁ + b₂ = 4, b₁ + b₂ + b₃ = 13;

Найти: S₅ - ?

Формула члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^(n – 1),

где b₁ – первый член геометрической прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов прогрессии.

Вычислим с помощью этой формулы второй, третий и пятый члены заданной прогрессии:

b₂ = b₁ * q^(2 – 1) = b₁ * q;

b₃ = b₁ * q^(3 – 1) = b₁ * q^2;

b₅ = b₁ * q^(5 – 1) = b₁ * q^4.

Т.о. имеем:

b₁ + b₂ = 4;               и             b₁ + b₂ + b₃ = 13;

b₁ + b₁ * q = 4;                        b₁ + b₁ * q + b₁ * q^2 = 13;

b₁ (1 + q) = 4;                         b₁ (1 + q + q^2) = 13;

b₁ = 4 / (1 + q).                       b₁ = 13 / (1 + q + q^2).

Т.е. 4 / (1 + q) = 13 / (1 + q + q^2);

4 * (1 + q + q^2) = 13 * (1 + q);

4 + 4q + 4q^2 = 13 + 13q;

4q^2 - 9q – 9 = 0;

D = (-9) – 4 * 4 * (-9) = 225; sqrt(D) = sqrt (225) = 15;

q1 = (9 + 15) / 8 = 3;

q2 = (9 – 15) / 8 = -0,75.

Т.к. из условия известно, что заданная прогрессия возрастающая, значит значение ее знаменателя так же есть положительное число (q = 3).

Вычислим значения: b₁ = 4 / (1 + q) = 4 / (1 + 3) = 1;

                               b₅ = b₁ * q^4 = 1 * 3^4 = 81.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = (b_n * q – b₁) / (q – 1);

Т.о. S₅ = (b₅ * q – b₁) / (q – 1) = (81 * 3 – 1) / (3 – 1) = 121.

Ответ: S₅ = 121.