При каких значениях n уравнение 5x^2+2x+n имеет единственный корень?

Для простоты решения преобразуем заданный трёхчлен:

5 * x^2 + 2 * x + n = 0 таким образом, чтобы коэффициентом при x^2 была 1, то есть почленно разделим на 5.

x^2 + 2 * x * 1/5 + n/5 = 0.

Единственный корень у квадратного трёхчлена бывает тогда, когда его можно преобразовать в двучлен в квадрате, то есть (х + к) ^2.

Так как  в общей записи (м + н) ^2 = м^2 + 2 * м * н + н^2, то для получения в нашем выражении такого же вида нужно выделить второй член, и это будет 1/5. Тогда n/5 = (1/5)^2 = 1/25.

Откуда n = 5/25 = 1/5 = 0,2.

Можно ещё решать, приравняв дискриминант Д = 0.