Определите наименьший положительный период1)y=sin7xcos5x+sin5xcos7x2)y=sin3x-cos8x

1. y = sin(7 * x) * cos(5 * x) + sin(5 * x) * cos(7 * x). Применяя формулу sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ (синус суммы), перепишем данную функцию в виде y = sin(7 * x + 5 * х) = sin(12 * x). Обращаясь к свойствам функции y = sinх, определим, что для неё наименьшим положительным периодом является Т = 2 * π. Это означает, что при наименьшем Т = 2 * π выполняется sin(х + Т) = sinх. Пусть для полученной функции у = sin(12 * x) угол Т₁₂ является наименьшим положительным периодом. Тогда, sin(12 * (x + Т₁₂)) = sin(12 * x). Имеем 12 * (x + Т₁₂) = 12 * x + 2 * π или 12 * Т₁₂ = 2 * π, откуда Т₁₂ = (2 * π) : 12 = π/6.
2. y = sin(3 * x) – cos(8 * x). Обращаясь к свойствам функций y = sinх и y = cosх, определим, что для обоих функций наименьшим положительным периодом является Т = 2 * π. Как известно, если есть две периодические функции с периодами T₁ и T₂, то периодом их разности является число T, кратное T₁ и T₂. Пусть Т₃ и Т₈ – наименьшие положительные периоды для функций у = sin(3 * x) и у = cos(8 * x), соответственно. Нетрудно убедиться, что Т₃ = (2 * π) : 3 = (2/3) * π и Т₈ = (2 * π) : 8 = (2/8) * π = π/4. Теперь необходимо найти такое Т, чтобы оно было кратным Т₃ и Т₈. Ясно, что Т = 2 * π.

Ответы: 1) π/6; 2) 2 * π.