1. Один из корней квадратного уравнения х² + ах - 20 = 0 равен -4. Найдите коэффициент а и второй корень данного уравнения.

1) Решим задание при помощи теоремы Виета:

х² + ах - 20 = 0. х₁ = -4.

Коэффициенты равны а = 1, b = a, c = -20.

х₁ * х₂ = - с = -20; -4 * х₂ = -20; х₂ = 5.

х₁ + х₂ = -b = -а; -4 + 5 = -а; 1 = -а; а = -1.

Ответ: х₂ = 5, а = -1.

2) х² + (а + 1)х + а = 0.

Выразим дискриминант квадратного уравнения:

D = (a + 1)² - 4a = a² + 2a + 1 - 4a = a² - 2a + 1.

Уравнение тогда имеет корни, когда дискриминант больше или равен нулю.

D ≥ 0; a² - 2a + 1 ≥ 0.

y = a² - 2a + 1. Это квадратичная парабола, ветви вверх.

у = 0; a² - 2a + 1 = 0.

D = 4 - 4 = 0 (один корень).

а = 2/2 = 1.

Отмечаем на координатной прямой точку 1, рисуем схематически параболу. Так как она расположена ветвями вверх, то она касается прямой в точке 1 и идет наверх. Знак неравенства ≥, значит, решением неравенства будет промежуток (-∞; +∞), число 1 входит в промежуток.

Найдем корень уравнения, когда а = 1 (корень будет один).

х² + (1 + 1)х + 1 = 0.

х² + 2х + 1 = 0.

D = 4 - 4 = 0 (один корень),

х = (-2)/2 = -1.

Ответ: при а = 1 уравнение имеет один корень х = -1, при а (-∞; 1) и (1; +∞) уравнение имеет два корня.