найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2x+2; y=0, x=-1, x=2

Перед решением задачи нужно сделать чертеж фигуры, площадь которой нужно найти. На координатной прямой рисуем параболу y = x² + 1, которая имеет вид стандартной квадратичной параболы, только сдвинутой по оси у вверх на 1 единичный отрезок.

Прямая х = 2 идет параллельно оси у (вертикально), пересекает ось х в точке 2.

А прямые х = 0 и у = 0 - это сами оси координат. Заштриховываем получившуюся фигуру, это криволинейная трапеция. Причем она расположена выше оси х.

Площадь криволинейной трапеции можно найти при помощи определенного интеграла

• Формула нахождения площади плоской фигуры при помощи определенного интеграла называется формула Ньютона-Лейбница. 
• Формула Ньютона-Лейбница: S = _a~^b f(x)dx, где ~ это интеграл, а и b - концы промежутка плоской фигуры, f(x) - это график непрерывной положительной функции.
• Определенный интеграл высчитывается по формуле F(x)_a|^b = F(b) - F(a), где F - это первообразная функции.

Определим промежуток 

Как видно по рисунку, концы промежутка, которые ограничивают нашу фигуру, равны 2 и 0 (значения х). То есть а = 0, b = 2.

f(x) = x² + 1 - это непрерывная положительная функция.

Найдем первообразную функции.

F(x) = x³/3 + x

Подставляем эти значения в формулу, находим значение площади.

S = _a~^b f(x)dx = ₀~² (x² + 1)dx = (x³/3 + x) ₀|² = (8/3 + 2) - 0 = 4 2/3 ед².

Ответ: площадь равна 4 2/3 ед².