Сколько существует натуральных чисел n

n, не превосходящих 3000

3000, таких, что (n+1)(n+2)(n+3)

(n+1)(n+2)(n+3) делится на 343

343?

343 = 7^3 = 7*49

n+1; n+2, n+3 - это три последовательных числа.

Если одно из них делится, например, на 7, то другие два делятся на 7 с остатками.

Значит, произведение не может делиться на 7^3.

Тоже самое, если одно из чисел делится на 49.

Значит, может быть только один вариант: Одно из чисел делится сразу на 343.

Варианты:

1) 343*1 = 343.

n=340: 341*342*343, n=341: 342*343*344, n=342: 343*344*345,

2) 343*2 = 686.

n=683: 684*685*686, n=684: 685*686*687, n=685: 686*687*688

3) 343*3 = 1029.

n=1026: 1027*1028*1029, n=1027: 1028*1029*1030, n=1028: 1029*1030*1031

4) 343*4 = 1372.

n=1369: 1370*1371*1372, n=1370: 1371*1372*1373, n=1371: 1372*1373*1374

5) 343*5 = 1715.

n=1712: 1713*1714*1715, n=1713: 1714*1715*1716, n=1714: 1715*1716*1717

6) 343*6 = 2058.

n=2055: 2056*2057*2058, n=2056: 2057*2058*2059, n=2057: 2058*2059*2060

7) 343*7 = 2401.

n=2398: 2399*2400*2401, n=2399: 2400*2401*2402, n=2400: 2401*2402*2403

8) 343*8 = 2744.

n=2741: 2742*2743*2744, n=2742: 2743*2744*2745, n=2743: 2744*2745*2746

9) 343*9 = 3087

n=3084 > 3000 - не подходит.

Всего вариантов: 8*3 = 24