Алёна вписывает цифры в клетки прямоугольной таблицы, в каждую клетку она вписывает не более одной цифры. Если она впишет 31

31 цифру, то обязательно найдётся строка, в которой будет записано хотя бы 5

5 цифр. Если она впишет 20

20 цифр, то обязательно найдётся столбец, в котором будет записано хотя бы 3

3 цифры. Какое наибольшее количество клеток может быть в таблице?

В таблице n строк и m столбцов.

Допустим, Алёна впишет во все n строк по 4 цифры.

Если n = 8, то получится 8*4 = 32 цифры. А у нас всего 31. Перебор.

Если n = 7, то получится 7*4 = 28 цифр, и останется ещё 3 цифры.

Она их может вписать в одну, две или 3 строки.

Получатся такие варианты:

1) 6 строк по 4 цифры и 1 строка 4+3 = 7 цифр

2) 5 строк по 4 цифры, 1 строки 4+2 = 6 цифр и 1 строка 5 цифр.

3) 4 строки по 4 цифры и 3 строки по 5 цифр.

Значит, строк у нас 7.

Допустим, Алёна впишет во все m столбцов по 2 цифры.

Если m = 10, то получится 10*2 = 20 цифр, но нигде не будет 3 цифры. Перебор.

Если m = 9, то получится 9*2 = 18 цифр, и останется ещё 2 цифры.

Их можно списать в один или два столбца.

Получатся такие варианты:

1) 8 столбцов по 2 цифры и 1 столбец 4 цифры.

2) 7 столбцов по 2 цифры и 2 столбца по 3 цифры.

Значит, столбцов у нас 9.

Всего в таблице:

7*9 = 63 клетки.