1. Даны векторы a = αm+βn и b = γm+δn, где |m| = k; |n| = l; (m,^n) = φ.Найти а) (λa+μb)∙(νa+τb); б) прв(νa+τb); в) cos(a,^τb)1.8 α = 5, β = 2, γ = 1, δ = –4, k = 3, l = 2, φ = π, λ = 1, μ = –2, ν = 3, τ = –42. По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти: а) модуль вектора а; б) скалярное произведение векторов а и b; в) проекцию вектора c на вектор d; г) координаты точки М, делящей отрезок l в отношении α : β2.8 A(2, –4, 3), B(–3, –2, 4), C(0, 0, –2) a = 3AC – 4CB , b =c=AB , d =CB , l=AC, α = 2, β = 13. Доказать, что векторы a,b,c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.3.8 a = (5, 1, 2); b = (–2, 1, –3); c = (4, –3, 5); d = (15, –15, 24)​

ЗАДАНИЕ 1:

а) (λa+μb)∙(νa+τb):

Спочатку знайдемо вектори λa та μb:

λa = λ(αm + βn) = λαm + λβn

μb = μ(γm + δn) = μγm + μδn

Тоді:

λa + μb = λαm + λβn + μγm + μδn = (λα + μγ)m + (λβ + μδ)n

Тепер знайдемо скалярний добуток (λa + μb)∙(νa + τb):

(λa + μb)∙(νa + τb) = ((λα + μγ)m + (λβ + μδ)n)∙(νa + τb)

= (λα + μγ)(m,^νa) + (λα + μγ)(m,^τb) + (λβ + μδ)(n,^νa) + (λβ + μδ)(n,^τb)

= (λα + μγ)(m,^ν)(a,^a) + (λα + μγ)(m,^τ)(a,^b) + (λβ + μδ)(n,^ν)(b,^a) + (λβ + μδ)(n,^τ)(b,^b)

Оскільки (a,^a) = |a|², (a,^b) = 0 = (b,^a), (b,^b) = |b|², а (m,^n) = φ = π, то:

(λa + μb)∙(νa + τb) = (λα + μγ)(|a|²cos(φ)) + (λβ + μδ)(|b|²cos(φ))

= (5 + 2)(9cos(π)) + (1 - 8)(4cos(π)) = -24

Отже, (λa + μb)∙(νa + τb) = -24.

б) прв(νa+τb):

Найдемо вектор νa + τb:

νa + τb = 3αm + 3βn - 4γm - 4δn = (3α - 4γ)m + (3β - 4δ)n

Тепер знайдемо її проекцію на вектор a:

projₐ(νa + τb) = [(3α - 4γ)m + (3β - 4δ)n,^a] * a / |a|

= [(3α - 4γ)m,^a] * a / |a| = (3α - 4γ)(m,^a)a / |a|²

Оскільки (m,^a) = sin(φ) = 0 (оскільки φ = π), то projₐ(νa + τb) = 0.

Отже, прв(νa + τb) = 0.

в) cos(a,^τb):

cos(a,^τb) = (a,^τb) / |a||τb|

= [(αm + βn),^(-4γm - 4δn)] / |a||τ||

ЗАДАНИЕ 2:

а) Модуль вектора а вычисляется по формуле: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²), где a₁, a₂, a₃ - координаты вектора a. Найдем координаты вектора a:

a = 3AC - 4CB = 3(0, 0, -2) - 4(-5, 2, 0) = (15, -6, -6)

Тогда модуль вектора a равен:

|a| = √(15² + (-6)² + (-6)²) = √(225 + 36 + 36) = √297 = 3√33

б) Скалярное произведение векторов а и b вычисляется по формуле: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃, где a₁, a₂, a₃ и b₁, b₂, b₃ - координаты векторов a и b соответственно. Найдем координаты вектора b и вычислим скалярное произведение:

b = AB = B - A = (-3, -2, 4) - (2, -4, 3) = (-5, 2, 1)

a·b = (15)(-5) + (-6)(2) + (-6)*(1) = -75 - 12 - 6 = -93

в) Проекция вектора c на вектор d вычисляется по формуле: projd c = ((c·d)/|d|²)·d, где c·d - скалярное произведение векторов c и d, |d| - модуль вектора d. Найдем сначала модуль вектора d:

|d| = √(0² + 0² + (-2)²) = √4 = 2

Теперь найдем скалярное произведение векторов c и d:

c·d = (-5)(0) + (2)(0) + (1)*(-2) = -2

Тогда проекция вектора c на вектор d равна:

projd c = ((-2)/(2²))·(0, 0, -2) = (-1, 0, 1)

г) Координаты точки M, делящей отрезок l в отношении α : β, находятся по формуле:

M = (βA + αC)/(α + β)

Подставим данные:

M = (12, -41 + 20, 31 + (-2)*2)/(2 + 1) = (2, -6, -1)

Ответ:

а) |a| = 3√33

б) a·b = -93

в) projd c = (-1, 0, 1)

г) координаты точки M = (2, -6, -1)

ЗАДАНИЕ 3:

Чтобы доказать, что векторы a, b, c образуют базис, нужно показать, что они линейно независимы и что любой вектор может быть выражен через линейную комбинацию a, b, c.

Проверим линейную независимость a, b, c:

Пусть существуют такие числа x, y, z, что xa + yb + z*c = 0.

Тогда система уравнений имеет вид:

5x - 2y + 4z = 0

x + y - 3z = 0

2x - 3y + 5z = 0

Решив эту систему методом Гаусса, получим единственное решение x = 1, y = 2, z = 3. Таким образом, векторы a, b, c линейно независимы.

Проверим, что любой вектор может быть выражен через линейную комбинацию a, b, c:

Пусть d = xa + yb + zc. Тогда система уравнений имеет вид:

5x - 2y + 4z = 15

x + y - 3z = -15

2x - 3y + 5z = 24

Решив эту систему методом Гаусса, получим единственное решение x = 3, y = -2, z = 1. Таким образом, вектор d может быть выражен через линейную комбинацию a, b, c следующим образом: d = 3a - 2b + c.

Таким образом, векторы a, b, c действительно образуют базис. Координаты вектора d в этом базисе равны (3, -2, 1).