Помогите решить дифферинциальное уравнение

Для решения данного дифференциального уравнения, который является линейным, можно использовать метод вариации постоянной.

Данное уравнение имеет вид:

(y-2)dx - xdy = 0

Для начала, проверим, является ли уравнение точным. Для этого вычислим его производные:

∂M/∂y = -1
∂N/∂x = -1

Так как ∂M/∂y не равно ∂N/∂x, уравнение не является точным.

Чтобы найти частное решение, начнем с представления y(x) в виде функции c(x):

y(x) = c(x)x

Теперь найдем производную y(x) по x:

dy(x)/dx = c(x) + x * dc(x)/dx

Подставим найденное значение в исходное уравнение:

(c(x)x - 2)dx - x(c(x) + x * dc(x)/dx)dy = 0

Преобразуем:

c(x)x dx - 2 dx - x^2 dc(x) - x^3 dc(x)/dx dy = 0

(1 - x^3 * dc(x)/dx) dy = (2 - c(x)) dx

Выражаем dc(x)/dx:

dc(x)/dx = (1 - 2/x) / x^3

Теперь проинтегрируем обе части:

∫(dc(x)/dx) dx = ∫((1 - 2/x) / x^3) dx

c(x) = ∫((1 - 2/x) / x^3) dx

Для решения данного интеграла используем метод интегрирования по частям:

u = 1 - 2/x, dv = dx / x^3
du = 2/x^2 dx, v = -1 / 2x^2

∫((1 - 2/x) / x^3) dx = -1 / (2x^2) * (1 - 2/x) - ∫(-1 / 2x^2 * 2/x^2) dx

= -1 / (2x^2) + 1 / x - ∫(1/x^4) dx

= -1 / (2x^2) + 1 / x + 1 / 3x^3 + C

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения будет:

y(x) = c(x)x = ( -1 / (2x^2) + 1 / x + 1 / 3x^3 + C ) * x

Учитывая начальное условие y(3) = 1, можно найти значение постоянной C:

1 = ( -1 / (2 * 3^2) + 1 / 3 + 1 / 3 * 3^3 + C ) * 3

1 = ( -1 / 18 + 1 / 3 + 1 / 9 + C ) * 3

1 = ( -1 / 18 + 6 / 18 + 2 / 18 + C ) * 3

1 = ( 7 / 18 + C ) * 3

1 = 21 / 18 + 3C

21 / 18 - 1 = 3C

(21 - 18) / 18 = 3C

3 / 18 = 3C

1 / 6 = C

Таким образом, окончательное частное решение будет выглядеть так:

y(x) = ( -1 / (2x^2) + 1 / x + 1 / 3x^3 + 1/6 ) * x