Доказать неравенство Коши между средним арифметическим и средним геометрическим с помощью тригонометрии.

Ответ:

Рассмотрим последовательность a1, a2, ..., an и b1, b2, ..., bn. Заметим, что (ai - bi)^2 >= 0 для всех i. Раскроем квадрат и перегруппируем члены, получим ai^2 + bi^2 >= 2ai*bi. Применим суммирование по всей последовательности, получим sum(ai^2) + sum(bi^2) >= 2*sum(ai*bi). Поделим обе части неравенства на n^2. Тогда получим (sum(ai^2))/n^2 + (sum(bi^2))/n^2 >= 2*(sum(ai*bi))/n^2. Отсюда следует, что (среднее арифметическое a)^2 + (среднее арифметическое b)^2 >= 2*(среднее арифметическое ab), что и требовалось доказать.