В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
M— середина ребра
BC,
S — вершина.
DM=6√5, 
SM=√292. Найдите 
высоту пирамиды.

Искомая высота у нас в прямоугольном треугольнике SOM ( O - точка пересечения диагоналей, и соответственно в неё опускается высота ). Пусть сторона квадрата - а, следовательно, если нам дано DM, то из прямоугольного треугольника DMC можно найти эту сторону: DM^2=MC^2+DC^2, откуда 36*5 = a^2 + (a^2)/4 (т.к. MC - половина стороны квадрата), а=12. Диагональ квадрата = 12\sqrt{2}. Из другого прямоугольного треугольника OBM найдем OM: OM^2=OB^2 - BM^2. OM=6. И из треугольника SOM ищем SO по теореме пифагора, SO=16.

Чтобы решить задачу необходимо знание теоремы пифагора, диагонали квадрата.