Прямоугольный треугольник с гипотенузой равной c и острым углом α, вращается вокруг гипотенузы. Вычислить объем тела вращения.

Найдём катеты: а = с·cosα, b = c·sinα.

При вращении вокруг гипотенузы с получаются два конуса, радиус основания которых R = c·cosα·sinα

Высота конуса, образующей которого является катет а = с·cosα, равна

h₁ = a·cosα = с·cosα·cosα = c·cos²α

Высота конуса, образующей которого является катет b = c·sinα, равна

h₂ = a·sinα = с·sinα·sinα = c·sin²α

Объём 1-го конуса:

V₁ = 1/3 πR²·h₁ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α

Объём 2-го конуса:

V₂ = 1/3 πR²·h₂ = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α

Объём всего тела вращения:

V = V₁ + V₂  = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·cos²α + 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·sin²α

 = 1/3 ·π·(c·cosα·sinα)²·c·(cos²α + sin²α) = 1/3 ·π·c³·(cosα·sinα)² =

= 1/12 ·π·c³·(4cos²α·sin²α) = 1/12 ·π·c³·sin²2α