пусть n натуральное число. какая цифра стоит сразу после запятой в десятичной записи числа sqrt(n^2+n) ? я знаю что 4 докажите.

запишем выражение в виде n*sqrt(1+1/n) вспоминаем ряд Маклорена для функции sqrt(1+x) при |x|<1 наш пример удовлетворяет условию sqrt(1+1/n)=1+1/2n-1/8n^2+1/16n^3.... n*sqrt(1+1/n)=n+1/2-1/8n+1/16n^2... остается показать что 1/8n+1/16n^2+....<0,1

для n>=2 доказано. убедимся что свойство верно и для n=1

sqrt(1+1)=sqrt(2)=1,4....