Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) 

и построить ее график.

[tex]f(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)[/tex] 

График можно не строить, главное расписать какие точки брать.

Заранее спасибо! 

 

1) Найдем нулю нашей функции. Для чего разложим на множители формулу, которой она задана, с помощью введения новых вспомогательных членов.

 Из следует:

    а)  , отсюда - нуль функции

    б) , , отсюда

   , - нули функции

Итак, функция обращается в нуль в точках , и  

2) Найдем возможные точки экстремума нашей функции. Для чего найдем производную функции :

 -----(1) 

  Разложим квадратный трехчлен, стоящий в правой части (1), на целые множители. Для чего найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:     

   , отсюда найдем корни:

      ---------(2)

Тогда с (2) выражение (1) примет вид: 

 ----------(3)

  C помощью метода интервалов найдем промежутки, на которых производная функции принимает положительные и отрицательные значения:

а)  при x принадлежащем объединению промежутков

  (-бесконечности; 1/3)U(5; +бесконечности ) 

б)  при x принадлежащем промежутку (1/3; 5)

Известно, что промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции!

На промежутках, где , функция убывает!       

Поскольку при переходе через точку x=1/3 производная меняет знак с плюса на минус, то эта точка - точка максимума

 Поскольку при переходе через точку x=5 производная меняет знак с минуса на плюс, то эта точка - точка минимума. Итак,