(4x-1)^1/2+4cos x/2 найти производную функцию

d/dx [(4x-1)^1/2+4 cos(x/2)] = ?

1)  Заметим, что производная суммы функций равна сумме производных каждой из функций по отдельности. Поэтому:

d/dx [(4x-1)^1/2+4 cos(x/2)] = d/dx [(4x-1)^1/2] + d/dx [4 cos(x/2)].

2) Продифференцируем сначала первое слагаемое, как сложную функцию. Учитывая, что d/dx(xⁿ) = nx^n-1 , а d/dx(kx) = k:

d/dx [(4x-1)^1/2] = (1/2)* (4x-1) ^{1/2 - 1}*d/dx (4x-1)= (1/2)* (4x-1) ^-1/2*4 = 2(4x-1) ^-1/2.

3) Продифференцируем теперь второе слагаемое, как сложную функцию. Константу 4 выносим за знак дифференциала:

d/dx [4 cos(x/2)] = 4 d/dx[cos(x/2)].

Учитывая, что:

d/da [cos a]  = - sin a:

4 d/dx[cos(x/2)] = 4 (- sin(x/2)) * d/dx [x/2] = - 4 sin(x/2) * 1/2 = - 2 sin(x/2).

4) Сложим результаты вычислений из пунктов 2) и 3):

2(4x-1) ^-1/2 - 2 sin(x/2) = 2 [(4x-1) ^-1/2 - sin(x/2)].

Ответ: 2 [(4x-1) ^-1/2 - sin(x/2)].