L = 12 каждое ребро треугольной пирамиды. Найти объём (V).

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2P98V1n).

Так как длины всех ребер пирамиды равны 12 см, то ее основание и боковые грани есть равносторонние треугольники.

Построим высоты СН и ВК, которые так же есть медианы, тогда АК = СК = АС / 2 = 12 / 2 = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ВСК, по теореме Пифагора, ВК² = ВС² – СК² = 144 – 36 = 108.

ВК = √108 = 6 * √3 см.

В точке О медианы делятся в отношении 2 / 1, тогда ОВ = ВК * 2 / 3 = 6 * √3 * 2 / 3 = 4 * √3 см.

В прямоугольном треугольнике ДОВ, по теореме Пифагора, ДО² = ВД² – ВО² = 144 – 48 = 96.

ДО = 4 * √6 см.

Определим площадь основания пирамиды. Sосн = АС * ВК / 2 = 12 * 6 * √3 / 2 = 36 * √3 см².

Тогда V = Sосн * ДО / 3 = 36 * √3 * 4 * √6 / 3 = 144 * √2 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 144 * √2 см³.